Diese Website ist inzwischen veraltet, wird nicht mehr gepflegt und wird voraussichtlich in einigen Monaten offline genommen. Wenn jemensch Interesse daran hat die Inhalte zu übernehmen und weiter zu pflegen, kotanktiert mich bitte über exploeco.de. Ich würde mich sehr freuen, wenn die Inhalte eine Zukunft hätten. Ich stelle gerne alles Notwendige zur Verfügung und bin auch gerne bei der Einrichtung einer neuen Website oder eines neuen Wikis behilflich. Gerne kann auch ein ehemals gestarteter Ansatz reaktiviert werden, unter wiki.fsrpsy-leipzig.de.

2. Wahrscheinlichkeitsrechnung

2.1. Kombinatorik

Bei der Permutation handelt es sich lediglich um eine Vertauschung (ABC → ACB), während eine Kombination und eine Variation eine Auswahl darstellen (ABCD → ACB). Die Eigenheit der Kombination ist, dass diese die Anordnung nicht berücksichtigt (ABCD → ACB = ABC), während die Variation die Anordnung berücksichtigt (ACBD → ACB != ABC).

n entspricht den Auswahlmöglichkeiten, während k den Anwendungsmöglichkeiten entspricht. k kann in einigen Fällen größer sein als n.

Permutation ohne Wiederholung

Eine Permutation stellt ein Vertauschungsproblem dar.
Für den Fall ohne Wiederholung ergibt sich:

tex:P_{n} = P(n) = n!

Beispiel:

Aus ABC tex:(n = 3) ergeben sich tex:P_{3} = 3! = 6 Möglichkeiten.
⇒ ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Permutation mit Wiederholung

Eine Permutation stellt ein Vertauschungsproblem dar.
Für den Fall mit Wiederholung ergibt sich:

tex:^{w(x_{1},x_{2},...,x_{n})}P_{n} = {{n!} \over {x_{1}!,x_{2}!,...,x_{n}!}}

Beispiel

Aus AABBC ergeben sich tex:^{w(2,2)}P_{3} = {{5!} \over {2!  \cdot 2!}} = 30 Möglichkeiten
⇒ AABBC, AABCB, AACBB, ABABC, ABACB, ABBAC, ABBCA, …, CBBAA

Kombination ohne Wiederholung

Eine Kombination stellt ein Auswahlproblem dar, die Anordnung wird nicht berücksichtigt.
Für den Fall ohne Wiederholung ergibt sich:

tex:C_n^k = {n\choose k}

Beispiel

Wenn ABCD in 3 Klassen angeordnet werden sollen, ergeben sich tex:C_4^3 = {4\choose 3} = 4 Möglichkeiten.

Kombination mit Wiederholung

Eine Kombination stellt ein Auswahlproblem dar, die Anordnung wird nicht berücksichtigt.
Für den Fall mit Wiederholung ergibt sich:

tex:^w C_n^k = {{n+k-1} \choose {k}}

Beispiel

Wenn 2x 1,2,3,4,5,6 in 2 Klassen angeordnet werden sollen (z.B. Werfen von zwei Würfeln), ergeben sich tex:^w C_6^2 = {{6+2-1} \choose {2}} = {{7} \choose {2}} = 21 Möglichkeiten.

Variation ohne Wiederholung

Eine Variation stellt ein Auswahlproblem dar, die Anordnung wird berücksichtigt.
Für den Fall ohne Wiederholung ergibt sich:

tex:V_n^k = {{n!} \over {(n-k)!}}

Beispiel

Wenn 1x 1,2,3,…,9 in 2 Klassen angeordnet werden sollen, ergeben sich tex:V_9^2 = {{9!} \over {(9-2)!}} = {{9!} \over {7!}} = 72 Möglichkeiten.

Kombinationen wie: 12,21; 13,31; 14,41; etc. werden mitgezählt (→ Anordnung wird berücksichtigt).
Kombinationen wie: 11, 22, 33, etc. werden nicht mitgezählt (→ Ohne Wiederholung).

Variation mit Wiederholung

Eine Variation stellt ein Auswahlproblem dar, die Anordnung wird berücksichtigt.
Für den Fall mit Wiederholung ergibt sich:

tex:^w V_n^k = n^k

Beispiel

Wenn 2x 1,2,3,…,9 in 2 Klassen angeordnet werden sollen, ergeben sich tex:^w V_9^2 = 9^2 = 72 Möglichkeiten.

Kombinationen wie: 12,21; 13,31; 14,41; etc. werden mitgezählt (→ Anordnung wird berücksichtigt).
Kombinationen wie: 11, 22, 33, etc. werden mitgezählt (→ Mit Wiederholung).

2.2. Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung stellt Modelle zur Beschreibung von Experimenten bereit, deren Ausgang zufällig (→ unvorhersagbar) ist.

Die Modelle werden mit dem Ziel erstellt gewisse Prognosen über den Ausgang dieser Experimente zu ermöglichen - über das Eintreten von Ereignissen, sowie deren relative Häufigkeit.

Das Zufallsexperiment tex:k ist die Realisierung eines Komplexes von Bedingungen, der beliebig oft unverändert wiederholbar ist. Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes wird als zufälliges Ereignis bezeichnet.

Ereignisse

  • Elementarereignis: Nicht zerlegbar, nicht vereinigt
  • Zusammengesetztes Ereignis: Zerlegbar, vereinigt (Summe mind. zweier Elementarereignisse)

Ereignisraum Ω (auch Ereignisfeld)

Als Ereignisraum wird die Produktmenge aller Ereignisse bezeichnet.

Die Bedingungen sind:

  • Enthält alle Ereignisse
  • Durch Operationen der Ereignisalgebra müssen alle Elemente in Ω bleiben

Sicheres / Unmögliches Ereignis

Das unmögliche Ereignis ∅ trifft in keinem Fall ein tex:P(\emptyset)=0, wähend das sichere Ereignis S in jedem Fall eintrifft tex:P(S)=1.

Vollständige Ereignissysteme

In einem vollständigen Ereignissystem tritt genau ein Ereignis ein (elementar oder zusammengesetzt).

Ereignisalgebra Mengenlehre Bool'sche Algebra Venn-Diagramm
Komplementäres Ereignis tex:{\bar A} = \Omega \setminus A Komplementär tex:{\bar A}
Produkt tex:A \cap B Durchschnitt tex:A \wedge B
Summe tex:A \cup B Vereinigung tex:A \vee B
Differenz tex:A \setminus B Differenzmenge
A zieht B nach sich tex:A \le B Teilmenge

2.3. Wahrscheinlichkeitstheorien

Definitionen

Statistische Definition

Die relative Häufigkeit ergibt sich bei n→∞, welches gegen einen Grenzwert verläuft. Der Grenzwert gibt die Wahrscheinlichkeit der günstigen Ereignisse an (relativ).

tex:P(A)={lim \atop {n \to \infty}} {m(A) \over n}

  • m(A): Absolute Häufigkeit der günstigen Ereignisse
  • n: Absolute Häufigkeit der möglichen Ereignisse

Klassische Definition

Die klassische Bedingung trifft nur bei Laplace-Experimenten ein. Hier gelten ideale Bedingungen. Endliche viele Elementarereignisse haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.

tex:P(A)={g(A) \over m}

  • g(A): Absolute Häufigkeit der günstigen Ereignisse
  • m: Absolute Häufigkeit der möglichen Ereignisse

Axiomatische Definition (nach Kolmogorow)

  1. Für ein zufälliges Ereignis gilt tex:0 \le P(A) \le 1
  2. Für ein sicheres Ereignis gilt tex:P(\Omega), für ein unsicheres Ereignis gilt tex:P(\emptyset) = 0
  3. Sind A und B disjunkt (→ tex:A \cap B = \emptyset also unvereinbar) gilt tex:P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Additionssatz

tex:P(A \cup B) = P(A) + P(B) - (A \cap B)

Beispiel

Idealer Würfel
A: Zahl < 4 (p = 3/6)
B: Gerade Zahl (p = 3/6)

tex:P(A \cup B) = {3 \over 6} + {3 \over 6} - {1 \over 6} = {5 \over 6}

Bedingte Wahrscheinlichkeit

tex:P(A|B) = {{P(A \cap B)} \over {P(B)}}

Unbedingte Wahrscheinlichkeit zum Vergleich: tex:P(A|\Omega)

Verständnis: Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) wird B quasi zum neuen Ereignisraum. Die Wahrscheinlichkeit von A wird also nicht mehr in Bezug zu Ω, sondern in Bezug zu B angegeben.

Beispiel

Idealer Würfel
A: Zahl < 4 (p = 3/6)
B: Gerade Zahl (p = 3/6)

tex:P(A|B) = {{1/6} \over {3/6}} = {1 \over 3}

Multiplikationssatz

tex:{P(A \cap B)} = P(B|A) \cdot P(A) = P(A|B) \cdot P(B)

Beispiel

Idealer Würfel
A: Zahl < 4 (p = 3/6)
B: Gerade Zahl (p = 3/6)

tex:{P(A \cap B)} = {1 \over 3} + {1 \over 2} = {1 \over 6}

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

tex:P(B) = \sum_{i=1}^n [ P(B|A_i) \cdot P(A_i) ]

Beispiel

Parteien und deren Frauenanteil
A: Anteil im Bundestag
B: Weiblich

Es sind jedoch nur die bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben (also die Wahrscheinlichkeit einer Frau unter der Bedingung, dass sie einer bestimmten Partei angehört). Ziel ist es den gesamten Frauenanteil zu berechnen.

Partei Anteil im Bundestag Weiblicher Anteil
einer Partei
SPD tex:P(A1) = 0,4 tex:P(B|A1) = 0,2
CDU tex:P(A2) = 0,3 tex:P(B|A2) = 0,3
FDP tex:P(A3) = 0,1 tex:P(B|A3) = 0,1
Grüne tex:P(A4) = 0,15 tex:P(B|A4) = 0,5
Linke tex:P(A5) = 0,05 tex:P(B|A5) = 0,3

tex:P(B) = \sum_{i=1}^n [ P(B|A_i) \cdot P(A_i) ] = 0,2\cdot0,4 + ... + 0,3\cdot0,05 = 0,26

Satz von Beyes

tex:P(A_i|B) = { { P(B|A_i) \cdot P(A_i) } \over { \sum_{i=k}^n } [ P(B|A_k) \cdot P(A_k) ] }

Beispiel

Parteien und deren Frauenanteil
A: Anteil im Bundestag
B: Weiblich

Um nun den Anteil der Bundestagsabgeordneten in Abhängigkeit von den Frauen zu berechnen, kann der Satz von Beyes verwendet werden.

tex:P(A_1|B) = { { 0,2 \cdot 0,4 } \over { \sum_{i=1}^n } [ P(B|A_i) \cdot P(A_i) ] } = { { 0,2 \cdot 0,4 } \over { 0,2 \cdot 0,4 + ... + 0,3 \cdot 0,05 } } = 0,31

⇒ 31% der Frauen sind bei der SPD.

 
uni-leipzig/psychologie/module/methoden2/wahrscheinlichkeit.txt · Zuletzt geändert: 2011/04/26 23:15 von carlo
 
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