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Sätze und Defintionen

Die Sätze und Definitionen entsprechen nicht unbedingt der nötigen mathematischen Strenge. Sie sind lediglich als Überblick über die wichtigsten Definitionen und Sätze des Moduls gedacht.

1. Einführung

1.1. Begriffe

DGL n-ter Ordnung

tex:D(F) \subseteq R^{n+2}

tex:F(x,y,y',y'',...,y^{(n)}) = 0

Linearität

DGL heißt linear, wenn tex:F linear in allen Variablen mit Ausnahme von tex:x ist.

Explizite DGL

Ist DGL nach tex:y^{(n)} auflösbar, d.h. äquivalent zu:

tex:y^{(n)} = f(x,y,y',...,y^{(n-1)})

so heißt diese explizite DGL, andernfalls implizite DGL.

1.2. Geometrische Deutung

Richtungsfeld

tex:y' = f(x,y) sei DGL

Dann wird jedem tex:(x,y) \in D(f) \subseteq R^2 eine Richtung zugeordnet und zwar durch den Anstiegswinkel tex:\gamma mit tex:tan(\gamma) = f(x,y).

Richtungsfeld der DGL

2. Elementare Integrationsmethoden

2.1. DGL mit getrennten Variablen

DGL mit getrennten Variablen

Eine DGL der Form:

tex:\displaystyle y' = { {f(x)} \over {g(y)} } = { {dy} \over {dx} }

heißt DGL mit getrennten Variablen.

Satz

Sei tex:f stetig in tex:(a,b), tex:g stetig in tex:(c,d) mit tex:g(y) \ne 0 für tex:y \in (c,d).

Sei tex:(x_0,y_0) ein beliebiger Punkt aus dem Rechteck tex:(a,b) \times (c,d), dann ist das AWP zur DGL mit getrennten Variablen mit tex:y(x_0)=y_0 eindeutig lösbar.

Eulerhomogene DGL

Eine DGL, welche sich auf eine DGL mit getrennten Variablen transformieren lässt, ist die Eulerhomogene DGL:

tex:\displaystyle { {dy} \over {dx} } = h({y \over x})

mit gegebener Funktion tex:h=h(z).

Eulerhomogene DGL heißt auch Ähnlichkeits-DGL.

2.2. Lineare DGL

Lineare DGL 1. Ordnung

Die DGL:

tex:y'(x) = a(x) \cdot y(x) + s(x) (L)

heißt lineare explizite DGL 1. Ordnung.

Homogen/Inhomogen

Ist tex:s(x) \equiv 0 für alle tex:x \in I \subseteq R, so heißt (L) homogene lineare DGL, andernfalls inhomogen.

Die Funktion tex:s heißt Störfunktion.

Superpositionsprinzip

a) Sind tex:y_1,y_2 Lösungen der homogenen linearen DGL:

tex:y'(x) = a(x) \cdot y(x) (LH) für tex:x \in I,

so ist auch tex:\lambda_1 \cdot y_1 + \lambda_2 \cdot y_2 wieder Lösung von (LH) für tex:\lambda_1, \lambda_2 \in R

b) Ist tex:y_1 Lösung von (LH) und tex:y_0 Lösung von (L), so löst tex:\tilde y(x) := y_0 + y_1 die inhomogene lineare DGL (L).

c) Sind tex:y_1, y_2 Lösungen der inhomogenen linearen DGL (L), so löst tex:\tilde y := y_1 - y_2 die homogene lineare DGL (LH).

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Seien die Funktionen tex:a,s stetig auf tex:I, dann gilt:

a) Die homogene lineare DGL hat die allgemeine Lösung:

tex:\displaystyle y_h(x) = C \cdot exp \left(\int^x_{x_0} a(\xi) d\xi \right)

tex:C ist beliebige reelle konstante, tex:x_0,x \in I.

b) Die allgemeine Lösung tex:y, der inhomogenen linearen DGL hat die Darstellung:

tex:y = y_s + y_h

mit einer speziellen Lösung tex:y_s.

c) Eine spezielle Lösung tex:y_s der inhomogenen linearen DGL erhält man durch den Ansatz:

tex:\displaystyle y_s(x) = C(x) \cdot exp \left(\int^x_{x_0} a(\xi) d\xi \right)

mit einer zu bestimmenden reelen Funktion: tex:C=C(x)

d) Das AWP der inhomogenen linearen DGL mit dem AW:

tex:y(x_0) = y_0, x_0 \in I, y_0 \in R

hat eine eindeutige Lösung, definiert auf tex:I.

2.3. Exakte DGL

Exakt

Die DGL:

tex:\displaystyle P(x,y) + Q(x,y){{dy}\over{dx}} = 0 (E) für tex:x \in I_1

heißt exakt in tex:R, falls es ein tex:F: R \to R gibt mit:

tex:\displaystyle {{\partial F}\over{\partial x}} = P, tex:\displaystyle {{\partial F}\over{\partial y}} = Q für alle tex:(x,y) \in R

Ein solches tex:F heißt Stammfunktion (oder Potential) zum gegebenen Vektorfeld tex:(P,Q).

Kriterium

Seien die partiellen Ableitungen der Koeffizienten tex:P,Q bezüglich tex:x und tex:y in tex:R vorhanden und stetig.

Dann ist die DGL (E) exakt, gdw.:

tex:\displaystyle {{\partial P}\over{\partial y}} = {{\partial Q}\over{\partial x}} (IB) für alle tex:(x,y) \in R.

Existenz- und Eindeutigkeitssatz für exakte DGL

Sei (E) in Rechteck tex:R exakt und tex:Q(x_0,y_0) \ne 0 für tex:(x_0,y_0) \in R.

Dann heißt das AWP zu (E) mit AW: tex:y(x_0) = y_0 eine eindeutig bestimmte Lösung tex:y=y(x) für eine hinreichend kleine Umgebung tex:(x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon), tex:\epsilon > 0.

Diese ergibt sich durch Auflösen der Gleichung tex:F(x,y) = F(x_0,y_0) nach tex:y. Wenn tex:F Potential zu tex:(P,Q) ist.

3. Gewöhnliche DGL 2. Ordnung

3.1. Reduzierbare Typen von DGL 2. Ordnung

Allgemeine explizite DGL 2. Ordnung

Die DGL:

tex:y''(x) = f(x,y(x),y'(x)) (2O)

heißt allgemeine explizite gewöhnliche DGL 2. Ordnung.

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Sei tex:f stetig in Umgebung von tex:y_0 \in R, tex:t_0 ein gegebener Zeitpunkt und tex:v_0 die vorgeschriebene Anfangsgeschwindigkeit.

Dann gibt es in einer Umgebung von tex:t_0 genau eine 2-mal stetig diffbare Lösung des AWP zu:

tex:m \ddot y(t) = f(y(t))

mit den AW:

tex:y(t_0) = y_0 und tex:\dot y(t_0) = v_0

3.2. Lineare DGL 2. Ordnung

Lineare DGL 2. Ordnung

Die DGL:

tex:y''(x) + a(x)y'(x) + b(x)y(x) = s(x) (L2)

heißt gewöhnliche lineare DGL 2. Ordnung. tex:s ist Störfunktion und:

tex:y'' + ay' + by = 0

die zugehörige homogene DGL.

Es gilt das Superpositionsprinzip.

Existenz- und Eindeutigekeitssatz

Sei tex:a,b,c stetig auf tex:I \in R. Dann besitzt das AWP zu (L2) mit dem AW:

tex:y(x_0) = y_0, tex:y'(x_0)=p_0 mit tex:x_0 \in I, tex:y_0,p_0 \in R

genau eine Lösung tex:y=y(x) für tex:x \in I.

Lineare Unabhängigkeit

tex:p Funktionen tex:y_1,...,y_p heißen linear unabhängig auf Intervall tex:I \subseteq R, falls aus:

tex:\lambda_1 y_1(x) + ... + \lambda_p y_p(x) = 0 für alle tex:x \in I folgt:

tex:\lambda_1 = ... = \lambda_p = 0

Fundamentalsystem

Zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen DGL (L2H) heißen Fundamentalsystem (FS).

Wronski-Determinante

Zur Entscheidung, ob die 2 Lösungen in (L2H) ein Fundamentalsystem bilden, wird die Wronski-Determinante tex:W[u1,u2] eingeführt:

tex:\displaystyle W[u_1,u_2] := \left|  { {u_1} \atop {u_1'} } { {u_2} \atop {u_2'} } \right|

Abelsche Formel

Zur Wronski-Determinate gilt die Abelsche Formel:

tex:\displaystyle W[u_1,u_2](x) = W[u_1,u_2](x_0)exp \left( -\int^x_{x_0} a(\xi) d\xi \right)

3.3. Schwingungs-DGL

Schwingungs-DGL

Die DGL:

tex:y'' + \alpha y' + \beta y = s(x) mit Konstanten tex:\alpha, \beta \in R

heißt Schwingungs-DGL.

Freie Schwingung

tex:y'' + \alpha y' + \beta y = 0 (SH)

Lösung für (SH) durch Eulerschen Ansatz:

tex:y(x) := e^{\lambda x} (EA)

Satz

Eine Funktion tex:y vom Typ (EA) ist genau dann Lösung von (SH), wenn tex:\lambda eine Wurzel der charakteristischen Gleichung:

tex:\lambda^2 + \alpha \lambda + \beta = 0

der DGL (SH)ist.

Die Linke Seite wird als charakteristisches Polynom zu (SH) bezeichnet:

tex:P(\lambda) := \lambda^2 + \alpha \lambda + \beta

Erzwungene Schwingung

tex:y'' + \alpha y' + \beta y = s(x) (S)

Für spezielle Typen von tex:s lässt sich tex:y_s durch Ansatzmethoden bestimmen.

Ansätze

Ist Störfunktion tex:s eine Exponentialfunktion, also

tex:s(x) = e^{\gamma x}

mit tex:\gamma \in C, so können folgende Ansätze verwendet werden:

  • tex:y_s(x) = A \cdot e^{\gamma x}
  • tex:y_s(x) = A \cdot x \cdot e^{\gamma x}
  • tex:y_s(x) = A \cdot x^2 \cdot e^{\gamma x}

3.4. Euler-Lagrange-DGL

Lagrange-Funktion

Zwischen gewöhnlichen DGL 2. Ordnung und so genannten Variationsproblem (VP):

tex:\displaystyle s[y] := \int^b_a L(x,y(x),y'(x)) dx → Minimal

mit gegebener Funktion tex:L = L(x,y,p) (Lagrange-Funktion), wenn tex:y=y(x) aller möglichen Funktionen tex:y \in C^1([a,b]) und tex:y(a)=\alpha, tex:y(b)=\beta durchläuft.

Fundamentalsatz der Variationsrechnung

Sei tex:g eine auf tex:(a,b) stetige Funktion und gelte für jedes tex:\varphi \in v_0 die Relation:

tex:\displaystyle \int^b_a g(x) \varphi(x) dx = 0

so folgt tex:g \equiv 0 auf tex:(a,b).

4. Allgemeine Theorie DGL 1. Ordnung

4.1. Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf

Äquivalente Integralgleichung

Um das AWP:

tex:y'(x) = f(x,y(x)) für alle tex:x \in [x_0 - \alpha, x_0 + \alpha] =: I_0, tex:\alpha > 0

mit AW tex:y(x_0)=y_0 zu lösen, formulieren wird die DGL in eine äquivalente Integralgleichung um:

tex:\displaystyle y(x) = y_0 + \int^x_{x_0} f \left( \xi, y(\xi) \right)

wobei tex:f stetig bezüglich tex:x \in I_0, tex:y \in R sein soll.

Lipschitz-Bedingung

Eine Funktion tex:f = f(x,y), definiert im Rechteck tex:(a,b) \times (c,d) genügt einer Lipschitz-Bedingung bezüglich tex:y, wenn:

tex:|f(x,y) - f(x,\bar y)| \le L|y - \bar y| für alle tex:x \in (a,b), tex:y, \bar y \in (c,d)

mit einer Konstanten tex:L \ge 0. tex:L heißt Lipschitz-Konstante.

Satz von Picard-Lindelöf

Die Funktion tex:f = f(x,y) sei stetig auf tex:I_0 \times R und genüge dort einer Lipschitz-Bedingung bezüglich tex:y.

Dann besitzt das AWP zu tex:y'(x) = f(x,y(x)) genau eine Lösung tex:y.

Sie ergibt sich als gleichmäßiger Grenzwert der Folge tex:(y_n)^{\infty}_{n=0} der sukzessiven Approximation.

tex:\displaystyle { y_{n+1}(x) = y_0 + \int^x_{x_0} f(\xi, y_n(\xi))d\xi }, für alle tex:x \in I_0, tex:y \in R

Fehlerabschätzung

Für tex:x \in I_0 gilt die Fehlerabschätzung:

tex:\displaystyle |y(x) - y_n(x)| \le \left( \sum^{\infty}_{v=0} {{(\alpha\cdot L)^v}\over{v!}} \right) max |y_1(x) - y_0(x)| mit tex:x \in I_0

4.2. Weitere Existenz- und Abhängigkeitssätze

Satz von Peano

Sei tex:f = f(x,y) stetig im Rechteck tex:I \times R, dann hat AWP mindestens eine Lösung tex:y=y(x) für tex:x \in I.

Sie ergibt sich als Grenzwert einer Teilfolge von Polygonzügen.

tex:\displaystyle (y^{(z_n)})^{\infty}_{n=1}, wobei tex:{lim \atop {n \to \infty}} \Delta (z_n) = 0 gilt.

5. Systeme von DGL 1. Ordnung

5.1. Allgemeine Theorie

Wir bezeichnen das System:

tex:\displaystyle \left\{ \matrix{ \displaystyle {{y_1' = f_1(x,y_1,y_2,...,y_n)} \atop {y_2' = f_2(x,y_1,y_2,...,y_n)}} \atop  \displaystyle {{\vdots} \atop {y_n' = f_n(x,y_1,y_2,...,y_n)} }} \right\} \Leftrightarrow y_j' = f_j(x,y_1,y_2,...,y_n) mit tex:j=1,...,n

tex:\Leftrightarrow \vec y'(x) = \vec f(x, \vec y(x)) (S)

als allgemeines System von gewöhnlichen DGL 1. Ordnung mit:

tex:\vec y(x) = \left( \matrix{ \displaystyle {y_1(x)} \atop  \displaystyle {{\vdots} \atop {y_n(x)}} } \right), tex:\vec f = \left( \matrix{ \displaystyle {f_1(x)} \atop  \displaystyle {{\vdots} \atop {f_n(x)}} } \right), tex:\vec y'(x) = \left( \matrix{ \displaystyle {y_1'(x)} \atop  \displaystyle {{\vdots} \atop {y_n'(x)}} } \right)

Die AW zu (S) lautet:

tex:\vec y(x_0) = \vec y_0 bzw. tex:y_j(x_0) = y_{0j} mit tex:j=1,...,n

mit gegebenem Vektor tex:\vec y_0 = (y_0_1, ..., y_0_n)^T \in R^n.

Satz von Picard-Lindelöf für DGL-Systeme

Sei tex:\vec f = \vec f (x, \vec y) stetig auf tex:[x_0-\alpha, x_0+\alpha] \times R^n und genüge dort einer Lipschitz-Bedingung, d.h. es existiert Konstante tex:L>0, so dass:

tex:max|f_j(x, \vec y) - f_j(x, \vec { \tilde y })| \le L \cdot max|y_j - \tilde y_j| mit tex:j=1,...,n

tex:\| \vec f(x, \vec y) - \vec f(x, \vec { \tilde y }) \|_{\infty} \le L \cdot \| \vec y - \vec { \tilde y } \|_{\infty}

gilt für alle tex:[x_0-\alpha, x_0+\alpha] mit tex:\vec y, \vec { \tilde y } \in R

Dann gibt es genau eine Lösung tex:\vec y = \vec y (x) des AWP tex:\vec y(x) = f(x, \vec y(x)) für tex:x \in [x_0-\alpha, x_0+\alpha], tex:\vec y(x_0)=\vec y_0 für beliebige tex:\vec y_0 \in R.

tex:\vec y ergibt sich als gleichmäßiger Grenzwert auf tex:[x_0-\alpha, x_0+\alpha] der sukzessiven Approximation:

tex:\displaystyle { \vec y_{n+1}(x) = \vec y_0 + \int^x_{x_0} \vec f(\xi, \vec y_n(\xi))d\xi } mit tex:\vec y_0(x)=\vec y_0 und tex:n=0,1,2,...

5.2. Lineare DGL-Systeme

tex:\displaystyle \left\{ \matrix{ \displaystyle {{y_1'(x) = a_{11}(x)y_1(x) + ... + a_{1n}(x)y_n(x) + s_1(x)} \atop {y_2'(x) = a_{21}(x)y_1(x) + ... + a_{2n}(x)y_n(x) + s_2(x)}} \atop  \displaystyle {{\vdots} \atop {y_n'(x) = a_{n1}(x)y_1(x) + ... + a_{nn}(x)y_n(x) + s_1(x)} }} \right\} (LS)

mit reellwertigen Funktionen tex:a_{jk}(x) heißt lineares DGL-System 1. Ordnung.

Mit der Koeffizientenmatrix tex:A=(a_{jk})^n_{j,k=1} \in R^{n \times m} läßt sich (LS) in der kompakten Form:

tex:\vec y'(x) = A(x) \vec y(x) + \vec s(x)

schreiben, wobei tex:\vec s der Störvektor ist.

Das zu (LS) gehörende homogene DGL-System lautet tex:\vec y' = A \cdot vec y (LSH).

Es gilt das Superpositionsprinzip.

Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Seien tex:a_{jk}, s_j stetig auf Intervall tex:I \subseteq R, dann besitzt das AWP zu (LS) genau eine Lösung tex:\vec y \in C(I)^n mit AW tex:\vec y(x_0) = \vec y_0 für tex:x_0 \in I und tex:\vec y_0 \in R^n, denn die Voraussetzung des Satzes von Picard-Lindelöf für DGL-Systeme sind erfüllt.

5.3. Lineares DGL-System mit konstanten Koeffizienten

Das DGL-System:

tex:\displaystyle \left\{ \matrix{ \displaystyle {{y_1'(x) = a_{11}y_1(x) + ... + a_{1n}y_n(x)} \atop {y_2'(x) = a_{21}y_1(x) + ... + a_{2n}y_n(x)}} \atop  \displaystyle {{\vdots} \atop {y_n'(x) = a_{n1}y_1(x) + ... + a_{nn}y_n(x)} }} \right\} \Leftrightarrow \vec y' = A \cdot \vec y

ist ein homogenes lineares System von tex:n DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten tex:a_{jk} \in R, tex:j,k=1,...,n

tex:A = (a_{jk}) \in R^{n \times n}

5.4. Folgerungen für lineare DGL n-ter Ordnung

Die DGL:

tex:y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + a_0 y(x) = s(x)

heißt lineare gewöhnliche DGL n-ter Ordnung, tex:s Störung, und homogen, falls tex:s=0.

 
uni-leipzig/physik/module/gewdiff/inhalte.txt · Zuletzt geändert: 2012/08/02 20:41 von carlo
 
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