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Formelsammlung Mechanik/Wärmelehre

Die Formelsammlung im Folgenden ist sehr knapp gehalten, da sie nur die wichtigsten klausurrelevanten Formeln enthält. Bei Fehlern würde ich mich über eine kurze Info freuen! :)

Allgemein

Vektoren

Winkel zw. zwei Vektoren: tex:\quad \displaystyle cos(\phi) = { {a \cdot b} \over { |\vec a| \cdot |\vec b| } }

Bei rechtem Winkel: tex:\quad 0 = \vec a \cdot \vec b

Sinus/Cosinus

tex:\displaystyle sin = { geg \over hyp }

tex:\displaystyle cos = { ank \over hyp }

Kreis/Kugel

Kreisumfang: tex:\quad U = 2 \pi r

Kreisfläche: tex:\quad A = \pi r^2

Kugelvolumen: tex:\quad V = {4 \over 3} \pi r^3

Kugeloberfläche: tex:\quad A_O = 4 \pi r^2

Polarkoordinaten, Kugelkoordinaten

tex:\displaystyle \left( { { r \cdot cos(\varphi) } \atop { r \cdot sin(\varphi) } } \right) \cdot r

tex:\displaystyle \pmatrix { \displaystyle { { r \cdot sin(\theta) \cdot cos(\varphi) } \atop { r \cdot sin(\theta) \cdot sin(\varphi) } } \atop \displaystyle { r \cdot cos(\theta) } } \cdot r^2 \cdot sin(\theta)

Ort, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Freier Fall

tex:\displaystyle t = sqrt{ 2h \over g }

tex:v = sqrt{2gh}

Weg, Geschwindigkeit (1D)

tex:s = {1 \over 2} a t^2 + v_0 t + s_0

tex:v =at + v_0

Weg, Geschwindigkeit (2D)

tex:\displaystyle r(t) = \left({ {v_0 t cos(\phi)} \atop {v_0 t sin(\phi) - {1 \atop 2} g t^2 } } \right)

Waagerecht: tex:\quad \displaystyle r(t) = \left( { {v_0 t} \atop {- {1 \atop 2} g t^2 } } \right)

tex:\displaystyle v(t) = \left({ {v_0 cos(\phi)} \atop {v_0 sin(\phi) - g t } } \right)

Waagerecht: tex:\quad \displaystyle v(t) = \left( { v_0 \atop {- g t } } \right)

Weite, Höhe

Wurfweite: tex:\quad \displaystyle s_w = { { v_0^2 \cdot sin(2 \phi) } \over g }

Wurfhöhe: tex:\quad \displaystyle s_h = { { v_0^2 \cdot sin^2(\phi) } \over 2 g }

Grundlegende Kräfte

Normalkraft: tex:\quad F_N = m g cos(\alpha)

Hangabtriebskraft: tex:\quad F_H = m g sin(\alpha)

Zentrifugalkraft: tex:\quad \displaystyle F_Z = m \omega^2 r = { {m v^2} \over r }

Zentrifugalbeschleunigung: tex:\quad a_z = \omega^2 r

Corioliskraft: tex:F_C = -2 m \omega \times v

Energie, Arbeit, Leistung

Energie

tex:E_{pot} = mgh

tex:E_{kin} = {1 \atop 2} m v^2

tex:E_{rot} = {1 \atop 2} I \omega^2 = {1 \atop 2} L \omega ( = {1 \atop 2} m r^2 \omega^2)

Arbeit

tex:W = \int F dr = F \cdot s

Leistung

tex:P = F \cdot v

Pendel

Im Folgenden für kleine Auslenkung.

tex:v = l \cdot \omega

tex:a = l \cdot \alpha

tex:\displaystyle \alpha = - {g \over l} \phi

tex:\displaystyle \omega^2 = {g \over l}

tex:h = l (1 - cos(\phi))

Federpendel

tex:\displaystyle k = { F \over {\Delta x} } = { {m a} \over {\Delta x} }

tex:E_{pot} = {1 \over 2} k x^2

tex:\displaystyle \omega^2 = {k \over m}

Gekoppeltes Pendel

tex:\displaystyle \kappa = { {k l_1^2} \over {m l_2^2} }

tex:\displaystyle \omega^2 = {g \over l} + 2 \kappa

  • tex:\kappa → Kopplungskonstante
  • tex:l_1 → Von oben bis Feder
  • tex:l_2 → Von Feder bis unten
Physikalisches Pendel

tex:\displaystyle \omega^2 = { {m g s} \over I } = { { {m g s} \over {I_S + m s^2} } }

tex:\displaystyle T = 2 \pi \cdot \sqrt{ {I_S + m s^2} \over {m g s} }

Torsionsschwingung

tex:\displaystyle \omega^2 = {D \over I}

tex:\displaystyle \phi_0 = {M_0 \over D}

  • tex:D → Direktionsmoment

Schwingungen, Wellen

tex:\displaystyle f = {1 \over T}

tex:\displaystyle \lambda = {2\pi \over k}

tex:\displaystyle \omega = {2\pi \over T} = 2\pi {c \over \lambda}

tex:\displaystyle c = {\lambda \over T} = \lambda \cdot f = {\omega \over k}

  • tex:k → Wellenzahl
Abklingkoeffizient, Energie

Abklingkoeffizient: tex:\quad \displaystyle n \cdot \delta \cdot T = ln \left( { A_0 \over A_1 } \right)

Energie: tex:\quad E_{kin} = {1 \over 2} m \omega^2 A_0^2

Ausbreitungsgeschwindigkeit

Longitudinal: tex:\quad c_L = \sqrt{E \over \rho}

Transversal: tex:\quad c_T = \sqrt{G \over \rho}

Impuls

tex:p = m \cdot v

Elastisch: tex:\quad m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2

Inelastisch: tex:\quad m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v'

Drehimpuls, Drehmoment

tex:\omega = \alpha t + \omega_0

tex:v = \omega \cdot r

tex:a = \alpha \cdot r

tex:I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2

Drehimpuls: tex:\quad L = r \cdot p = 2m r^2 \omega

Drehmoment: tex:\quad M = r \cdot F = I \cdot \alpha

Gravitation, Planeten

Fallbeschleunigung: tex:\quad \displaystyle g = { {GM} \over {r^2} }

Umlaufgeschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle \sqrt{ {GM} \over r }

Keppler-Gesetz: tex:\quad \displaystyle T^2 = { {4\pi^2} \over {GM} } \cdot a^3 mit tex:\quad \displaystyle a = { { d_{min} + d_{max} } \over 2 }

Potentielle Energie: tex:\quad \displaystyle E_{pot} = { {GmM} \over r }

Fluchtgeschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle v = \sqrt{ {2GM} \over r }

Reibung

Haftreibung: tex:\quad \displaystyle F_H = f_H \cdot F_N

Gleitreibung: tex:\quad \displaystyle F_G = f_G \cdot F_N

Stokes (Laminar)

tex:F_R = 6 \pi \eta R v

Grenzgeschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle v_g = { {mg} \over {6 \pi \eta R} }

Newton (Turbulent)

tex:F_R = {1 \over 2} c_w \rho A v^2

Grenzgeschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle v_g = \sqrt{ {2mg} \over {c_w \rho A} }

Rollreibung

Translationsgeschwindigkeit: tex:\quad v_s = \omega R e_x

Reibungsdrehmoment: tex:\quad M_R = f_R \cdot F_N

Rollreibungskraft: tex:\quad \displaystyle F_R = {M_R \over R} = c_R \cdot F_N

Rollwiderstandskoeffizient: tex:\quad \displaystyle c_R = {F_R \over F_N} = {f_R \over R}

  • tex:e_x → Horizontale Bewegungsrichtung

Schwerpunkt, Trägheitsmoment

Schwerpunkt: tex:\quad \displaystyle R = {\rho \over m} \int \int \int \left( \displaystyle{ {x \atop y} \atop z} \right) dx dy dz

Satz von Steiner: tex:\quad I_A = I_S + ms^2

Spezifische Trägheitsmomente

Kugel: tex:\quad I_S = {2 \over 5} m r^2

Kreis: tex:\quad I_S = {1 \over 2} m r^2

Quader: tex:\quad I_Sx = {m \over 12} (b^2 + c^2) , tex:\quad I_Sy = {m \over 12} (a^2 + c^2) , tex:\quad I_Sy = {m \over 12} (a^2 + b^2)

Verformung

Hookesches Gesetz

tex:\displaystyle F = EA {\Delta L \over L}

Spannung: tex:\quad \displaystyle \delta = {F \over A} = E {\Delta L \over L}

Arbeit: tex:\quad \displaystyle W = {1 \over 2} E V \epsilon^2 mit tex:V = A \cdot L

Energiedichte: tex:\quad \displaystyle \omega = {W \over V} = {1 \over 2} E \epsilon^2

  • tex:E → Elastizitätsmodul
Kompression

Kompressibilität: tex:\quad \displaystyle k = - {1 \over \Delta p} {\Delta V \over V} = {3 \over E} \cdot (1 - 2v)

Kompressionsmodul: tex:\quad \displaystyle K = {1 \over k}

Energiedichte: tex:\quad \displaystyle \omega = {3 \over 2} \cdot {E \over {1-2v}} \cdot \epsilon^2

  • tex:v → Elastische Konstante
Scherung

Scherspannung: tex:\quad \displaystyle \tau = {F \over A} = G \cdot \alpha

Elastizitätsmodul: tex:\quad \displaystyle E = 2G(1+v)

Arbeit: tex:\quad \displaystyle W = {1 \over 2} G V \alpha^2

Schermodul: tex:\quad \displaystyle G = {{2ML} \over {\pi R^4 \phi_0}}

  • tex:\alpha → Scherwinkel
Biegung

Biegung (Punktlast): tex:\quad \displaystyle s = F \cdot {{L^3} \over {3EV}}

Flächenträgheitsmoment: tex:\quad \displaystyle B = {\pi \over 4} \cdot (R_A^4 - R_I^4)

Knickkraft: tex:\quad \displaystyle F_k = \pi^2 \cdot {{EB} \over L^2}

  • tex:R_A → Außenradius (Rohr)
  • tex:R_I → Innenradius (Rohr)
Torsion

tex:\displaystyle M = {\pi \over 2} \cdot {R^4 \over L} \cdot \phi_0

Winkelrichtmoment: tex:\quad \displaystyle D = G \cdot {\pi \over 2} \cdot {R^4 \over L}

Energie: tex:\quad \displaystyle E = {1 \over 2} D \phi_0^2

Druck, Auftriebskraft, Kapillarität

Barometrische Höhenformel

tex:\displaystyle p(h) = p_0 \cdot exp \left( {{\rho_0 g h} \over {p_0}} \right)

Kleine Höhenuterschiede: tex:\quad p(h) \approx p_0 - \rho_0 g h

Auftriebskraft

tex:F_A = - \rho V g

  • tex:\rho → Umgebungsdichte
Flüssigkeiten

Oberflächenspannung: tex:\quad \displaystyle  \sigma= {F \over L} = {dW \over dA_0}

Tropfenvolumen: tex:\quad \displaystyle  V = {{2\pi r \sigma} \over {g \rho}}

Tropfendruck: tex:\quad \displaystyle  p = {{2\sigma} \over r}

Blase: tex:\quad \displaystyle  \Delta p = {{4\sigma} \over r}

Kapillarität: tex:\quad \displaystyle  h = {{2\sigma} \over {g \rho r}} bzw. tex:\quad \displaystyle  h = {{2\sigma \cdot cos(\theta)} \over {g \rho r}}

Bernoulli, Druckverhältnisse

Bernoulli: tex:\quad p + {\rho \over 2} v^2 + \rho g h = const.

tex:\displaystyle \Delta p = p_2 - p_1 = - {\rho \over 2} v_1^2 \cdot \left( {A_1^2 \over A_2^2} - 1 \right)

Durchfluss: tex:\quad Q = A \cdot v

Rückstoßkraft: tex:\quad F_R = (v_2 - v_1) \rho Q

Viskoser Widerstand

Widerstandskraft: tex:\quad F_W = \Delta p = \cdot A = (p_1 - P_2) \pi R^2

Reynolds-Zahl: tex:\quad \displaystyle Re = {{\rho \bar v L} \over \eta}}

  • tex:L → Charaktersistische Größe (z.B. tex:r bei Rohr)
Laminare Strömung

Widerstandskraft: tex:\quad \displaystyle F_{W_L} = 8\pi \eta L \bar v

Strömungsgeschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle \bar v = {r^2 \over {8\eta L}} \cdot \Delta p

Durchfluss: tex:\quad \displaystyle Q = {{\pi r^4} \over {8\eta L}} \cdot \Delta p

Turbulente Strömung

Widerstandskraft: tex:\quad F_{W_T} = {1 \over 2} c_w \rho {\bar v}^2 A

Allgemeines Wärmelehre

Freiheitsgrade

Allgemein: tex:\quad f = 3 \cdot N

  • 1 Atom: tex:\quad f = 3
  • 2 Atome tex:\quad f = 5 , bei hohen Temperaturen tex:\quad f = 6
Konstanten

Allgemeine Gaskonstante: tex:\quad \displaystyle R = 8,31 {J \over {mol \cdot K}}

Boltzmann-Konstante: tex:\quad \displaystyle k = 1,38 \cdot 10^{-23} {J \over K}

Avogadro-Konstante: tex:\quad \displaystyle N_A = 6,002 \cdot 10^{23} {1 \over mol}

tex:R = N_A \cdot k

  • tex:n → Anzahl mol
  • tex:N → Anzahl Teilchen
  • tex:M → Molare Masse
Längen-/Volumenausdehnung

Längenausdehnung: tex:\quad l(t) = l_0 [1 + \alpha (T-T_0) ]

Volumenausdehung: tex:\quad V(t) = V_0 [1 + \gamma (T-T_0) ]

  • tex:\alpha → Ausdehnungskoeffizient
  • tex:\gamma → Ausdehnungskoeffizient

Ideales Gas

tex:\displaystyle {{pV} \over T} = {{p_0 V_0} \over T_0}

Allgemeine Gasgleichung: tex:\quad pV = nRT = {2 \over 3} n N_A \bar E

Druck

Druck: tex:\quad \displaystyle p = {{2 \bar N m v_x} \atop A} = {1 \over3} {{n M {\bar v}^2} \over V} = {2 \atop 3} \hat n \bar E

tex:\displaystyle \hat n = {N \over V}

tex:\displaystyle \hat n m_0 = {n \over V} \cdot M

  • tex:\bar N → Mittlere Anzahl Atome, die pro Sekunde auf Wand treffen
Energie

Mittlere kinetische Translationsenergie: tex:\quad \bar E = {3 \over 2} k T

Reales Gas

Molares Volumen

Allgemein: tex:\quad \displaystyle V_m = {V \over n}

Molares Eigenvolumen: tex:\quad \displaystyle V_E = {b \over 4}

Van-der-Waals-Gleichung

tex:\displaystyle \left( p + {an^2 \over V^2} \right) \left( V - nb \right) = nRT

Binnendruck: tex:\quad \displaystyle p_B = {an^2 \over V^2}

Kritische Größen

Kritisches Volumen: tex:\quad V_{m,k} = 3b

Kritischer Druck: tex:\quad \displaystyle p_k = {a \over {27b^2}}

Kritische Temperatur: tex:\quad \displaystyle T_k = {{8a} \over {27bR}}

Kritische Dichte: tex:\quad \displaystyle \rho_k = {M \over V_{m,k}}

Wärmekapazität

Molare Wärmekapazität (Isochor): tex:\quad c_{m,V} = {1 \over 2} f R

Molare Wärmekapazität (Isobar): tex:\quad c_{m,p} = ({1 \over 2} f + 1) R

tex:c_{m,p} = R + c_{m,V}

1. Hauptsatz

Allgemein

tex:\Delta U = \Delta Q + \Delta W

  • tex:\Delta U → Innere Energie
  • tex:\Delta Q → Wärmeenergie
  • tex:\Delta W → Mechanische Arbeit

Wärmeenergie: tex:\quad \Delta Q = C_s \cdot m \cdot \Delta T = C \cdot \Delta T

Mechanische Arbeit: tex:\quad \Delta W = \int p dV

Isotherm

Es gilt: tex:\quad \Delta U = 0

Wärmeenergie: tex:\quad \displaystyle \Delta Q = -nRT \cdot ln \left({V_1 \over V_2}\right) = -nRT \cdot ln \left({p_2 \over p_1}\right) = - p_1 V_1 \cdot ln \left({V_1 \over V_2}\right)

Mechanische Arbeit: tex:\quad \Delta W = - \Delta Q

Isobar

Es gilt: tex:\quad \Delta p = 0

Wärmeenergie: tex:\quad \Delta Q = C_{m,p} \cdot n \cdot \Delta T

Mechanische Arbeit: tex:\quad \Delta W = - p \cdot \Delta V = -nR \cdot \Delta T

Isochor

Es gilt: tex:\quad \Delta W = 0

Wärmeenergie: tex:\quad \Delta Q = C_{m,V} \cdot n \cdot \Delta T

Innere Energie: tex:\quad \Delta U = \Delta Q

Adiabat

Es gilt: tex:\quad \Delta Q = 0

Mechanische Arbeit: tex:\quad \Delta W = C_{m,V} \cdot n \cdot \Delta T

Innere Energie: tex:\quad \Delta U = \Delta W

Maxwell-Boltzmann-Verteilung

tex:\displaystyle f(v) = \left( {m_0 \over {2\pi k T}} \right)^{3 \over 2} \cdot 4\pi {\bar v}^2 \cdot exp \left( - {{m_0 {\bar v}^2} \over {2kT}} \right)

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle v_w^2 = {{2kT} \over m_0} = {{2RT} \over M} = {{2pV} \over [Mn}}

Mittleres-Geschwindigkeits-Quadrat: tex:\quad \displaystyle \bar{v^2} = {{3kT} \over m_0} = {3 \over 2} v_w^2

Mittlere Geschwindigkeit: tex:\quad \displaystyle {\bar v}^2 = {{8kT} \over {\pi m_0}} = {4 \over \pi} v_w^2

⇒ Maximum bei tex:v_w

Hilfsformeln

tex:\displaystyle m_0 = {M \over N_A}

tex:\displaystyle {k \over m_0} = {R \over M}

 
uni-leipzig/physik/module/exphy1/formeln.txt · Zuletzt geändert: 2013/04/11 14:32 (Externe Bearbeitung)
 
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