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Sätze und Defintionen

Die Sätze und Definitionen entsprechen nicht unbedingt der nötigen mathematischen Strenge. Sie sind lediglich als Überblick über die wichtigsten Definitionen und Sätze des Moduls gedacht.

7. Grundbegriffe der Topologie

7.1. Metrische Räume und normierte metrische Räume

Metrik

tex:E sei eine Menge.

Eine Metrik auf tex:E ist eine Abbildung tex:d: E \times E \to R mit folgenden Eigenschaften:

  • tex:d(x,y) \ge 0 für tex:x,y \in E
    Wenn tex:d(x,y) = 0, dann ist tex:x=y
  • tex:d(x,y) = d(y,x) für tex:x,y \in E
  • tex:d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z) für tex:x,y,z \in E

Ein metrischer Raum ist eine Menge tex:E mit einer Metrik tex:d auf tex:E.

Symbol: tex:(E,d)

Norm

tex:E sei ein Vektorraum über tex:K = R oder tex:K = C

Eine Norm auf dem Vektorraum tex:E ist eine Abbildung tex:\|\cdot\|: E \to R mit folgenden Eigenschaften:

  • tex:\|x\| \ge 0 für alle tex:x \in E
    Aus tex:\|x\| = 0 folgt tex:x = 0
  • tex:\| \lambda \cdot x \| = | \lambda | \cdot \|x\| für tex:x \in E, tex:\lambda \in K
  • tex:\|x+y\| \le \|x\| + \|y\| für tex:x,y \in E (Dreiecksungleichung)

Ein Vektorraum tex:E mit einer Norm tex:\| \cdot \| heißt normierter linearer Raum.

Symbol: tex:(E,\| \cdot \|)

7.2. Topologische Grundbegriffe

Kugel

Kugel tex:U_r(x), tex:x \in E, r > 0

tex:U_r(x) = \{ y \in E: d(x,y) < r \} heißt (offene) Kugel um den Mittelpunkt tex:x mit dem Radius tex:r.

Innerer Punkt

tex:M Menge in tex:(E,d), tex:x \in E

tex:x heißt innerer Punkt von tex:M, wenn es ein tex:r>0 gibt mit tex:U_r(x) \subseteq M.

Berührungspunkt

tex:M Menge aus tex:E, tex:x \in E

tex:x heißt Berührungspunkt von tex:M (Häufungspunkt von tex:M), wenn jede Kugel tex:U_r(x), tex:r>0 mindestens einen (von tex:x verschiedenen) Punkt von tex:M enthält.

Offene Menge

tex:M Menge in tex:(E,d), tex:x \in E

tex:M heißt offene Menge, wenn jeder Punkt von tex:M innerer Punkt von tex:M ist.

Abgeschlossene Menge

Die Menge aller Berührungspunkt von tex:M heißt der Abschluss von tex:M, er wird mit tex:\overline{M} bezeichnet. Die Menge tex:M heißt abgeschlossen, wenn tex:M = \overline{M} ist.

Konvergenz

Eine Folge tex:(x_n, n \in N) aus tex:E konvergiert gegen tex:x \in \overline{E}, wenn tex:{lim \atop {n \to \infty}} d(x_n,x) = 0 ist.

tex:x heißt dann Grenzwert der Folge tex:(x_n, n \in N).

Stetige Abbildung

tex:(E_1,d_1), tex:(E_2,d_2) seien metrische Räume.

Eine Abbildung tex:f: E_1 \to E_2 heißt stetig im Punkt tex:x_0 \in E_1, wenn aus tex:{lim \atop {n \to \infty}} x_n = x_0 in tex:(E_1,d_1) stets tex:{lim \atop {n \to \infty}} f(x_n) = f(x_0) in tex:(E_2,d_2) folgt.

Abbildung

Die Abbildung tex:f heißt stetig, wenn tex:f in jedem Punkt tex:x_0 \in E_1 stetig ist.

Funktion

Eine Funktion tex:f auf tex:(E_1,d_1) heißt stetig, wenn tex:f eine stetige Abbildung von tex:(E_1, d_1) in den metrischen Raum ist (tex:C, tex:d(x,y)=|x-y|).

Cauchyfolge

Eine Folge tex:(x_n, n \in N) aus tex:E heißt Cauchyfolge, wenn zu jedem tex:\epsilon > 0 ein tex:n(\epsilon) \in R existiert, sodass tex:d(x_n, x_k) < \epsilon für alle tex:n,k \ge n(\epsilon).

Vollständiger metrischer Raum

Ein metrischer Raum tex:(E,d) heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge aus tex:(E,d) im metrischen Raum tex:(E,d) konvergiert.

7.3. Kompakte Menge

Überdeckungssatz

Ein System tex:(U_i; i \in I) von offenen Teilmengen tex:U_i des metrischen Raumes tex:(E,d) heißt offene Teilüberdeckung von tex:M, wenn tex:\bigcup_{i \in I} U_i \supseteq M.

Das System besitzt eine endliche Teilüberdeckung von tex:M, wenn es endlich viele Indizes tex:i_1, ..., i_n \in I gibt mit tex:\bigcup^n_{j=1} U_i_j \supseteq M.

Kompakte Menge

Eine Teilmenge tex:M eines metrischen Raumes tex:(E,d) heißt kompakt, wenn jede Überdeckung tex:\{U_i; i \in I \} von tex:M durch offene Teimengen aus tex:E eine endliche Teilüberdeckung tex:U_i_1, ..., U_i_n besitzt.

Kurz: Wenn jede offene Überdeckung von tex:m eine endliche Teilüberdeckung besitzt, dann ist tex:m kompakt.

tex:M sei kompakte Teilmenge des metrischen Raumes tex:(E,d). tex:M ist dann (1) abgeschlossen und (2) beschränkt.

7.4. Zusammenhängende Mengen

Zusammenhängend

Ein metrischer Raum tex:(E,d) heißt zusammenhängend, wenn es keine nichtleere offene Menge tex:M_1,M_2 von tex:E gibt mit tex:M_1 \cap M_2 = \emptyset und tex:M_1 \cup M_2 = E.

Bogenzusammenhängend

tex:M heißt bogenzusammenhängend, wenn sich zwei beliebige Punkte tex:x_1, x_2 \in M durch einen ganz in tex:M verlaufenden Polygonzug verbinden lassen.

Gebiet

Eine offene zusammenhängende Teilmenge des tex:R^n heißt Gebiet.

7.5. Satz von Weierstraß

Satz von Weierstaß

tex:f sei eine stetig Funktion auf tex:[0,1].

Zu tex:\epsilon > 0 existiert Polynom tex:P_{\epsilon} (x) mit tex:|f(x)-P_{\epsilon}(x)| < \epsilon für alle tex:x \in [0,1].

Dichte Teilmenge

Eine Teilmenge tex:M eines metrischen Raumes tex:(\epsilon,d) heißt dicht in tex:\epsilon, wenn tex:\overline{M} = \epsilon ist.

8. Differentialrechnung im Rn

8.1. Ableitung einer Funktion

Differenzierbarkeit

tex:f heißt differenzierbar in tex:x_0, wenn es eine lineare Abbildung tex:A: R^n \to R^m gibt.

tex:\displaystyle {lim \atop {\rho \to 0}} = { {\| f(x_0 + \rho) - f(x_0) - A (\rho) \|} \over {\| \rho \|} } = 0

Ableitung

tex:f: g \subseteq R^n \to R^m sei diffbar in tex:x_0.

Dann existieren alle partiellen Ableitungen tex:{ {\partial f_i} \over {\partial x_i} } (x_0) und die linearen Abbildungen tex:f'(x_0) hat in der Standardbasis die Matrix:

tex:\displaystyle \pmatrix { { {{\partial f_1} \over {\partial x_1}} \cdot\cdot\cdot {{\partial f_1} \over {\partial x_n}} \atop { \cdot\cdot\cdot \enspace\enspace\enspace \cdot\cdot\cdot} } \atop { {\partial f_m} \over {\partial x_1}} \cdot\cdot\cdot {{\partial f_m} \over {\partial x_n}} }

wobei tex:f = (f_1, ..., f_m).

Stetig Differenzierbar

tex:f: g \to R^m heißt stetig differenzierbar in tex:x_0 \in g, wenn ein tex:r>0 existiert derart, dass tex:f auf der Kugel tex:U_r(x) = \{x_0 \in g: \|x-x_0\|<r\} differenzierbar ist und die Abbildung tex:x \to f'(x) mit tex:x \in U_r(x_0) und tex:f'(x) \in L(R^n,R^m) stetig in tex:x_0 ist.

Richtungsableitung

tex:g: g \to R sei Funktion. tex:g Gebiet aus dem tex:R^d, tex:x_0 \in g.

tex:n = (n_1, ..., n_d) sei Einheitsvektor aus tex:R^d, d.h. tex:\|n\| = \sqrt{\sum^d_{j=1} n^2_j} = 1.

Satz

Wenn der Grenzwert:

tex:\displaystyle {lim \atop {h \to 0}} { {g(x_0 + h \cdot n) - g(x_0)} \over {h} }

existiert, dann heißt dieser Grenzwert Richtungsableitung von tex:g in die Richtung tex:n.

Er wird bezeichnet mit: tex:{ {\partial g} \over {\partial n} } (x_0)

Tangentialebene

Tangentialebene an tex:F im Punkt tex:(x_0,y_0,z_0) hat die Gleichung:

tex:\displaystyle z-z_0 = {{\partial f} \over {\partial x}} (x_0,y_0) (x-x_0) + {{\partial f} \over {\partial y}} (x_0,y_0) (y-y_0)

tex:(x,y,z) \in R

Funktionalmatrix / Jacobimatrix

tex:f: g \subseteq R^n \to R^n sei differenzierbar in tex:x_0 \in g.

tex:A:= f'(x_0) \in L(R^n,R^m)

Bezüglich der Standardbasis in tex:R^n bzw. tex:R^m wird tex:A gegeben durch die Matrix:

tex:\displaystyle M = \left( {{\partial f_i} \over {\partial x_j}} \right) mit tex:i=1,...,m und tex:j=1,...,n

Die Matrix tex:M heißt Fundamentalmatrix oder Jacobimatrix der Abbildung tex:f in tex:x_0.

Symbol: tex:\displaystyle M = \left[ {{\partial(f_1,...,f_m} \over {\partial(x_1,...,x_n)}} \right]

Funktionaldeterminante

Wenn tex:n=m ist, dann heißt die Zahl tex:det(M) die Funktionaldeterminante der Ableitung im Punkt tex:x_0.

Symbol: tex:\displaystyle det(M) = det \left[ {{\partial(f_1,...,f_m} \over {\partial(x_1,...,x_n)}} \right]

8.2. Kettenregel

Operatorennorm

Die Zahl tex:\|A\|_{op} := inf\{ \lamdba \ge 0: \|A(\rho)\| \le \lambda \cdot \| \rho \| \} für alle tex:y \in R^n heißt Operatorennorm.

Kettenregel

tex:k(x)=g(f(x)), tex:y=f(x), tex:z=g(y)

tex:f: U_1 \to U_2, tex:g: U_2 \to U_3, tex:k: U_1 \to U_3

Satz

Wenn tex:f diffbar ist in tex:x_0 und tex:g in tex:y_0 := f(x_0) diffbar ist, dann ist tex:k in tex:x_0 diffbar und es gilt:

Kettenregeltex:k'(x_0) = g'(y_0) \circ f'(x_0)

8.3. Höhere partielle Ableitungen

Satz von Schwarz

tex:z = f(x,y) sei Funktion auf Gebiet tex:g im tex:R^2

Sei tex:(x_0,y_0) \in g

Satz

Es existiert tex:r>0 derart, dass für alle tex:(x,y) \in U_r(x_0,y_0) die partielle Ableitung tex:{{\partial f} \over {\partial x}}, tex:{{\partial f} \over {\partial y}} und tex:{{\partial^2 f} \over {\partial x \cdot \partial y}} existieren.

Die partielle Ableitung tex:{{\partial^2 f} \over {\partial x \cdot \partial y}} sei in tex:(x_0, y_0) stetig.

Dann existiert auch die partielle Ableitung tex:{{\partial^2 f} \over {\partial y \cdot \partial x}}(x_0, y_0) und:

tex:\displaystyle {{\partial^2 f} \over {\partial x \cdot \partial y}}(x_0, y_0) = {{\partial^2 f} \over {\partial y \cdot \partial x}}(x_0, y_0)

Satz von Taylor

tex:f \in C^{k+1}(g), tex:x_0 \in g, tex:x_0 + \upsilon \cdot \rho \in g für alle tex:\upsilon \in [0,1]

Dann existiert tex:\upsilon \in [0,1] derart, dass:

tex:\displaystyle f(x_0 + \rho) = f(x_0) + \sum^k_{j=1} {{(\rho \nabla)^j f(x_0)} \over {j!}} + {{(\rho \nabla)^{k+1} f(x_0 + \upsilon \cdot \rho)} \over {(k+1)!}}

→ Spezialfall tex:k=0 entspricht dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Taylorreihe

Wenn tex:{lim \atop {k \to \infty}} R_{k+1} (x_0; \rho) = 0 ist, dann folgt:

tex:\displaystyle f(x_0 + \rho) = f(x_0) + \sum^{\infty}_{j=1} {1\over{j!}} \left( (f \cdot \nabla)^j (x_0) \right)

Taylorreihe von tex:f an tex:x_0 (In Heft ausführlicher, hier verkürzte Version)

Quadratische Form

tex:Q(\rho) = \sum^n_{i,j=1} a_{ij} \cdot h_i \cdot h_j, wobei tex:a_{ij} \in R mit tex:a_{ij} = a_{ji}, tex:i,j=1,...,n

tex:\rho = (h_1,...,h_n) \in R^n

Q heißt quadratische Form.

Extrema

Minimum/Maximum

tex:f hat ein relatives Maximum bzw. relatives Minimum, wenn es ein tex:r>0 gibt mit:

tex:f(x_0) \ge f(x) bzw. tex:f(x_0) \le f(x)

für alle tex:x \in g, tex:\|x - x_0\| < r

Extremum

tex:f hat in tex:x_0 relatives Extrema, wenn tex:f in tex:x_0 ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum besitzt.

Nablakalkül

tex:g \subseteq R^n

Reelwertige Funktion tex:u(x) auf tex:R^n

Vektorfunktion tex:y(x) = \left( v_1(x_1), ..., v_n(x_n) \right) mit tex:x \in y

Sei tex:\nabla formaler Vektor:

tex:\displaystyle \nabla = \left( {\partial \over {\partial x_1}}, ..., {\partial \over {\partial x_n}} \right)

Gradient

tex:\displaystyle grad(u) = \nabla \cdot u := \left( { {\partial u} \over {\partial x_1}}, ..., { {\partial u} \over {\partial x_n}} \right)

Divergenz

tex:\displaystyle div(u) = \nabla \circ u := { {\partial u_1} \over {\partial x_1}} + ... + { {\partial u_n} \over {\partial x_n}}

Rotation

tex:\displaystyle rot(u) = \nabla \times u := \left| \matrix{ { i \enspace\enspace j \enspace\enspace k } \atop { {{\partial \over {\partial x_1}} \enspace {\partial \over {\partial x_2}} \enspace {\partial \over {\partial x_3}}} \atop { v_1 \enspace\enspace v_2 \enspace\enspace v_3 } } } \right| = \left( {{\partial v_3} \over {\partial x_2}} - {{\partial v_2} \over {\partial x_3}}, {{\partial v_1} \over {\partial x_3}} - {{\partial v_3} \over {\partial x_1}}, {{\partial v_2} \over {\partial x_1}} - {{\partial v_1} \over {\partial x_2}} \right)

8.5. Auflösungssätze

Satz von der Umkehrabbildung

tex:f: g \subseteq R^n \to R^n sei stetig diffbare Abbildung

tex:f'(x_0) sei reguläre Abbildung aus tex:L(R^n, R^n)

Satz

Dann existiert eine offenen Umgebung tex:U von tex:x_0 und eine offene Umgebung tex:V von tex:y_0 = f(x_0) derart, dass, tex:f tex:U eineindeutig auf tex:V abbildet.

Die Umkehrfunktion tex:g=(f|_U)^{-1} ist stetig diffbar auf tex:U und es gilt tex:g'(y) = f'(x)^{-1} mit tex:y = f(x) und tex:x \in U.

Man sagt dann:
  • tex:f lässt sich in tex:x_0 lokal umkehren
  • tex:f besitzt in einer Umgebung von tex:x_0 eine Umkehrfunktion

Satz von der Gebietstreue

tex:g sei offene Teilmenge des tex:R^n.

tex:f: g \to R^n seit stetig diffbare Abbildung

tex:f'(x) sei regulär für jeden Punkt tex:x\in g

Satz

Dann ist die Menge tex:f(g) = \{ f(x), x \in g \} auch offen.

Satz über implizite Funktionen

tex:f: g \subseteq R^{n+m} \to R^n seit stetig diffbar

tex:(x_0, y_0) \in g, wobei tex:x_0 \in R^m und tex:y_0 \in R^n

tex:f(x_0, y_0) = 0 und tex:\displaystyle { {\partial(f_1, ..., f_n)} \over {\partial(y_1, ..., y_n)} } (x_0, y_0) \ne 0

Satz

Dann existiert eine offene Menge tex:U \subseteq R^{n+m} und tex:W \subseteq R^m mit tex:x_0 \in W und tex:(x_0, y_0) \in U und folgender Eigenschaft:

  • Zu jedem tex:x \in W existiert genau ein tex:y = y(x) mit tex:(x, y(x)) \in U und tex:f(x, y(x)) = 0
  • Die Abbildung tex:x \to y(x) ist auf tex:W stetig diffbar.

9. Kurve

9.1. Rektifizierbare Kurven

Sei tex:a,b \in R, tex:a<b

Definition

Eine stetige Abbildung tex:x: [a,b] \to R^n heißt Kurve in tex:R^n.

Wenn die Abbildung tex:x stetig diffbar auf tex:[a,b] ist, dann heißt die Kurve stetig diffbar.

Einfach / Geschlossen

Sei tex:x: [a,b] \to R^n eine Kurve.

Definition
  • Die Kurve heißt geschlossen, wenn tex:x(a) = x(b) ist
  • Die Kurve heißt einfach, wenn aus tex:x(t_1) = x(t_2) stets tex:t_1 = t_2 folgt für tex:t_1,t_2 \in [a,b]

Tangente

Sei tex:x: [a,b] \to R^n eine Kurve.

Definition

Für tex:t_0 \in (a,b) existiere die Abbildung tex:x'(t_0) und es sei tex:x'(t_0) \ne 0. Dann heißt die Tangente an die Kurve im Punkt tex:x_0(t_0):

tex:x = x(t_0) + \lambda \cdot x_0'(t_0) mit tex:\lambda \in R

Reguläre Kurve

Sei tex:x: [a,b] \to R^n eine Kurve.

Definition

Wenn tex:x'(t) \ne 0 für alle tex:t \in [a,b], dann heißt die Kurve regulär.

Rektifizierbarkeit

Wenn tex:\displaystyle {sup \atop z} (L_{pz}) = {sup \atop z} \sum^{n-1}_{i=0} \|x(t_{i+1}) - x(t_i)\| endlich ist, dann heißt die Kurve tex:x rektifizierbar.

Die Zahl tex:L = {sup \atop z} (L_{pz}) heißt dann Länge der Kurve oder Bogenlänge.

Satz

tex:x:[a,b] \to R^n sei eine einfach stetig differenzierbare Kurve im tex:R^n. Dann ist die Kurve rektifizierbar und ihre Länge ist:

tex:\displaystyle L = \int^b_a \| x'(t) \| dt = \int^b_a \sqrt{x_1'(t)^2 + ... + x_n'(t)^2} dt

9.2. Kurvenintegrale

Sei tex:x: [a,b] \to R^n stetig diffbare Parameterdarstellung der orientierten Kurve tex:C_+.

tex:f(x) sei stetige Abbildung von tex:C = x([a,b]) in den tex:R^n.

Satz

Dann existiert das Kurvenintegral tex:\int_{C+} f(x) dx und es gilt:

tex:\displaystyle \int_{C+} f(x) dx = \int_a^b f(x(t)) \cdot x'(t) dt

9.3. Wegunabhängigkeit

Konservatives Feld

Gebiet tex:g \subseteq R^n

tex:f: g \to R^n sei stetige Abbildung von tex:g in tex:R^n

Definition

tex:f heißt konservatives Feld, wenn für beliebige Punkte tex:x_1, x_2 \in g folgendes gilt:

Für jede stückweise stetig diffbare einfache Kurve tex:C_+ von tex:x_1 nach tex:x_2 mit gleicher Orientierung, die in tex:g verläuft, nimmt das Kurvenintegral tex:\int_{C+} f(x) dx den gleichen wert an.

Potentialfeld

tex:f: g \subseteq R^n \to R^n

Definition

tex:f heißt Potentialfeld, wenn es eine stetig diffbare Funktion tex:U auf tex:g gibt, mit tex:f(x) = grad(U(x)) für alle tex:x \in g.

tex:U heißt dann ein Potential für tex:f.

Bedingung für Potentialfeld

tex:f: g \to R^n sei stetig diffbar auf tex:g, wenn tex:f Potentialfeld ist, dann gilt:

tex:\displaystyle {{\partial f_i}\over{\partial x_j}} = {{\partial f_j}\over{\partial x_i}}

für tex:x \in g, tex:i \ne j

⇒ Größer tex:R^3 nur notwendige Bedingung

Einfach zusammenhängend

tex:g heißt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene stetig diffbare Kurve, die in tex:g verläuft, nullhomotop ist.

10. Gebietsintegrale

10.1. Definition

Gebietsintegral

tex:Q sei abgeschlossener n-dimensionaler Quader.

Definition

tex:f heißt integrierbar über tex:Q, wenn tex:\overline{I}(f) = \underline{I}(f) ist.

Ist dies erfüllt, dann heißt tex:\overline{I}(f) = \underline{I}(f) das Gebietsintegral von tex:f über tex:Q.

tex:\int_Q f(x) dx_1 ... dx_n \equiv \int f dg

Jordansche Nullmenge

Definition

tex:m \subseteq R^n heißt Jordansche Nullmenge im tex:R^n, wenn zu jedem tex:\epsilon > 0 endlich viele Quader tex:Q_1, ..., Q_r existieren, mit:

tex:\displaystyle m \subseteq \bigcup^r_{j=1} Q_j und tex:\displaystyle \sum^r_{j=1} |Q_j| < \epsilon

Jordanbereich

Definition

tex:m \subseteq R^n heißt Jordanbereich im tex:R^n, wenn tex:m kompakt ist und die Rangmenge tex:\partial m eine Jordansche Nullmenge ist, wobei:

tex:\partial m = \{ x \in m : x \enspace ist \enspace kein \enspace innerer \enspace Punkt \enspace von \enspace m \}

Mit anderen Worten:

Wenn tex:\partial m Vereinigung von endlich vielen stetig diffbaren Kurven ist und tex:m abgeschlossen und beschränkt ist, dann ist tex:m Jordanbereich.

10.2. Iterierte Integrale

Cavalieri Prinzip

tex:m_1 und tex:m_2 seien Jordanbereich im tex:R^3 von der obigen Form. Für jedes tex:x \in R sind die Schnitte von tex:m_1 und tex:m_2 mit der Ebene tex:x=c Jordanbereich im tex:R^2 mit gleichem Flächeninhalt:

tex:F_1(c) = F_2(c)

Dann haben tex:m_1 und tex:m_2 die gleichen Volumina:

tex:\displaystyle |m_1| = \int^b_a F_1(x) dx = \int^b_a F_2(x) dx = |m_2|

Rotationskörper

tex:\displaystyle |m_f| = \pi \int^b_a f(x)^2 dx

10.3. Variablentransformation

Transformationssatz

tex:m sei Jordanbereich im tex:R^n

tex:N \subseteq m sei Jordansche Nullmenge

tex:g sei eine stetig diffbare Abbildung von tex:m in den tex:R^n

Außerdem muss gelten:

  • Auf tex:m \setminus N ist tex:g injektiv → Wenn tex:g(x) = g(x'), dann tex:x=x' für tex:x,x' \in m \setminus N
  • tex:g'(x) ist regulär für alle tex:x \in mtex:{{\partial(g_1, ..., g_n)}\over{\partial(x_1, ..., x_n)}}(x) \ne 0 für alle tex:x \in m
Satz

Dann ist tex:n = g(m) auch ein Jordanbereich.

Für jede stetige Funktion tex:f auf tex:n = g(m) gilt:

tex:\displaystyle \int_n f(y) dy_1...dy_n = \int_m f(g(x)) \left|{{\partial(g_1, ..., g_n)}\over{\partial(x_1, ..., x_n)}}(x)\right| dx_1...dx_n

11. Differentialformen & Vektoranalysis

11.1. Differentialformen

Multilinearform

Sei tex:n \in N, tex:n \ge 2, tex:k \in N, tex:k \ge 2

Eine äußere Multilinearform vom Grade tex:k (kurz eine k-Form) ist eine Abbildung tex:\omega: R^n \times ... \times R^n \to R (Rn k-mal), die (1) nichtlinear und (2) antisymmetrisch ist.

Dimension

Es gilt → tex:dim\left(\Lambda^k (R^n)\right) = \left({n \atop k}\right), mit tex:k \in N_0, tex:n \in N

Jede k-Form auf dem tex:R^n mit tex:k > n ist identisch Null.

Basis

Die Menge tex:\{ dx_{i1} \wedge ... \wedge dx_{ik}; i_1, ..., i_k \in \{ 1,...,n \}, i_1<...<i_k \} ist eine Basis des reellen Vektorraumes tex:\Lambda^k(R^n), tex:k \le n.

Algebra

Eine Algebra über einem Körper tex:K ist ein Vekotrraum tex:A über tex:K, in dem eine Abbildung tex:(a,b) \to a \cdot b, mit tex:(a,b) \in A \times A und tex:a \cdot b \in A gegeben ist mit folgenden Eigenschaften:

  • tex:(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) für tex:a,b,c \in A (Assoziativgesetz)
  • tex:a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c für tex:a,b,c \in A
    tex:(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a (Distributivgesetz)
  • tex:(\alpha \cdot a) \cdot b = \alpha \cdot (a \cdot b) = a \cdot (\alpha \cdot b) für tex:a,b \in A, tex:\alpha \in K

Äußere Algebra

Die Algebra tex:\Lambda(R^n) heißt äußere Algebra des Vekorraumes tex:R^n.

Orientierung

tex:B(R^n) ist die Menge aller Basen des Vektorraumes tex:R^n

tex:\{ e_1, ..., e_n \}, tex:\{ f_1, ..., f_n \} seien Basen des tex:R^n.

Dann existieren reelle Zahlen tex:a_{ij} mit tex:e_i = \sum^n_{j=1} a_{ij} \cdot f{j} mit tex:i=1,...,n.

tex:Q = (a_{ij}) mit tex:i,j=1,...,n

Da es keine nichtlineare Linearkombination der Vektoren tex:e_1, ..., e_n gibt, die Null ist, folgt tex:det(Q) \ne 0. Außerdem ist tex:det(Q) \in R.

Äquivalente Basen

Basen tex:\{ e_1, ..., e_n \} und tex:\{ f_1, ..., f_n \} heißen äquivalent, wenn tex:det(Q)>0 ist.

Symbol: tex:\{ e_1, ..., e_n \} \sim \{ f_1, ..., f_n \}

Es gilt Äquivalentenrelation:

  • Symmetrisch → Aus tex:\{ e_1, ..., e_n \} \sim \{ f_1, ..., f_n \} folgt tex:\{ f_1, ..., f_n \} \sim \{ e_1, ..., e_n \}
  • Transitiv → Aus tex:\{ e_1, ..., e_n \} \sim \{ f_1, ..., f_n \} und tex:\{ f_1, ..., f_n \} \sim \{ g_1, ..., g_n \} folgt tex:\{ e_1, ..., e_n \} \sim \{ g_1, ..., g_n \}

Inneres Produkt

Ein inneres Produkt auf E ist eine Abbildung tex:\langle \cdot,\cdot \rangle: E \times E \to R mit folgenden Eigenschaften:

  • tex:\langle \lambda_1 \cdot x_1 + \lambda_2 \cdot x_2, y \rangle = \lambda_1 \langle x_1, y \rangle + \lambda_2 \langle x_2,y \rangleLinearität
  • tex:\langle x,y \rangle = \langle y,x \rangle für tex:x,y \in ESymmetrie
  • Wenn tex:\langle x,y \rangle = 0 für alle tex:y \in E, dann tex:x=0tex:\langle \cdot,\cdot \rangle ist nicht entartet

Orthobasis

Eine Basis tex:\{e_1,...,e_n\} des Vektorraums E heißt Orthobasis, wenn tex:\langle e_i,e_j \rangle = \delta_{ij} oder tex:\langle e_i,e_j \rangle = -\delta_{ij} mit tex:i,j=1,...,n.

Signatur

Sei tex:dim(E)=n, dann besitzt tex:E eine Orthobasis tex:\{e_1,...,e_n\}.

tex:\langle e_i,e_i \rangle = +1 oder tex:-1

Sei tex:p Anzahl der tex:+1 und tex:q Anzahl der tex:-1.

Zahl tex:p-q heißt Signatur des inneren Produkts tex:\langle \cdot,\cdot \rangle

k-Differential-Form

Eine k-Differential-Form (kurz k-Form) ist eine Abbildung tex:\omega: U \to \Lambda^k(R^n), d.h. jedem Punkt tex:x \in U ist ein Element tex:\omega(x) \in \Lambda^k(R^n) zugeordnet.

11.2. Rechnen mit Differentialformen

tex:U_1 \le R^n, tex:U_2 \le R^m seien offene Mengen

tex:f = (f_1,...,f_m), tex:y=f(x)

tex:f: U_1 \to U_2 sei diffbare Abbildung, tex:\omega \in \Omega^k_1 (U_2)

Zurückziehen von Differentialformen

tex:f^\star \omega(x) = f'(x) \omega (f(x)), d.h.

tex:f^\star \omega(x) (h_1,...,h_k) = \omega (f(x)) (f'(x)h1,...,f'(x)h_k) mit tex:k\ge1

Für tex:a(x) \in \Omega^0_1(U) = C^1(U_2) sei

tex:(f^\star a)(x) = a(f(x)), d.h. tex:f^\star a = a \circ f

tex:f^\star \omega heißt das Pullback von tex:\omega mit Hilfe der Abbildung tex:f (die durch die Abbildung tex:f zurückgezogene Form von tex:\omega)

Es gilt

tex:\displaystyle f^\star(dy_i) = \sum^n_{j=1} { {\partial f_i} \over {\partial x_j} } dx_j

tex:f^\star(a \omega) = (a \circ f) f^\star(\omega) mit tex:a \in C(U_2)

tex:f^\star (\omega \wedge \eta) = f^\star (\omega) \wedge f^\star (/eta)

Es gilt

tex:f^\star (d \omega) = d(f^\star \omega)

Geschlossen / Exakt

Eine Form tex:\omega \in \Omega_1(U) heißt geschlossen, wenn tex:d \omega = 0 ist.

Eine Form tex:\omega \in \Omega^k_r(U) heißt exakt, wenn es eine Form tex:\eta \in \Omega^{k+1}_{r+1}(U) gibt mit tex:\omega = d \eta.

Poincare Lemma

tex:U sei sternförmig bezüglich eines Punktes.

Dann ist jede geschlossene Form auf tex:U mit stetig diffbaren Koeffizienten exakt.

Singulärer k-Würfel

Eine stetig diffbare Abbildung tex:c: [0,1]^k \to U \subseteq R^n heißt singulärer k-Würfel.

11.3. Der Satz von Stokes

Singuläre k-Ketten

Eine singuläre k-Kette ist eine formale Linearkombination tex:s=n_1 \cdot c_1 + ... + n_r \cdot c_r von singulären k-Würfeln tex:c_1, ..., c_r mit ganzzahligen Koeffizienten tex:n_1,...,n_r.

Satz von Stokes

tex:c: [0,1]^{k+1} \to U \subseteq R^n sei ein singulärer (k+1)-Würfel.

tex:\omega \in \Omega^k_1 (U) (d.h. tex:\omega ist stetige diffbare k-Form auf tex:U).

Dann gilt

tex:\displaystyle \int_{\partial C} \omega = \int_C d\omega

 
uni-leipzig/physik/module/analysis2/inhalte.txt · Zuletzt geändert: 2013/04/10 23:30 (Externe Bearbeitung)
 
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