Diese Website ist inzwischen veraltet, wird nicht mehr gepflegt und wird voraussichtlich in einigen Monaten offline genommen. Wenn jemensch Interesse daran hat die Inhalte zu übernehmen und weiter zu pflegen, kotanktiert mich bitte über exploeco.de. Ich würde mich sehr freuen, wenn die Inhalte eine Zukunft hätten. Ich stelle gerne alles Notwendige zur Verfügung und bin auch gerne bei der Einrichtung einer neuen Website oder eines neuen Wikis behilflich. Gerne kann auch ein ehemals gestarteter Ansatz reaktiviert werden, unter wiki.fsrpsy-leipzig.de.

Wichtige Sätze und Definitionen

Die Sätze und Definitionen entsprechen nicht unbedingt der nötigen mathematischen Strenge. Sie sind lediglich als Überblick über die wichtigsten Definitionen und Sätze des Moduls gedacht.

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang

Gültigkeit für ein beliebiges tex:n.

2. Induktionsschritt

Gültigkeit für allgemeines tex:n+1.

  • Induktionsvoraussetzungtex:A(n)
  • Induktionsbehauptungtex:A(n+1)
  • Induktionsbeweis

Funktion

tex:f: X \rightarrow Y ist eine Funktion, wenn zu jedem tex:x \in X genau ein tex:y \in Y exisitiert.

Eigenschaften von Funktionen

Sei tex:f: X \rightarrow Y

Injektivität

tex:f heißt injektiv, wenn zu jedem tex:y \in Y höchstens ein tex:x \in X existiert.

Surjektivität

tex:f heißt surjektiv, wenn für alle tex:x \in X mindestes ein tex:y \in Y existiert.

Bijektivität

tex:f heißt bijektiv, wenn tex:f injektiv und surjektiv ist.

Beschränktheit

Sei tex:M eine Menge und tex:T \subseteq M:

Für tex:a \in M heißt tex:x obere Schranke, wenn für alle tex:x \in T gilt: tex:x \le a

Das Supremum bildet die kleinste obere Schranke.

Für tex:b \in M heißt tex:x untere Schranke, wenn für alle tex:x \in T gilt: tex:x \ge b

Das Infimum bildet die größte untere Schranke.

Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge.

Monotonie

Sei tex:f: X \rightarrow Y eine Funktion und tex:a,b \in X:

tex:a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)Monoton steigend

tex:a < b \Rightarrow f(a) < f(b)Streng monoton steigend

tex:a \le b \Rightarrow f(a) \ge f(b)Monoton fallend

tex:a < b \Rightarrow f(a) > f(b)Streng monoton fallend

Konvergenz & Divergenz von Folgen

Sei tex:a \in R und tex:(a_n) eine Folge:

Konvergenz (Definition)

tex:(a_n) ist konvergent, wenn es für jedes tex:\epsilon > 0 ein tex:n(\epsilon) gibt, so dass tex:|a_n - a| < \epsilon für alle tex:n \ge n(\epsilon)

tex:a heißt dann Grenzwert.

Divergenz

tex:(a_n) ist divergent, wenn sie nicht konvergent ist.

Konvergenzkriterium für Folgen

Jede monotone & beschränkte Folge ist konvergent.

Cauchy-Kriterium für Folgen

tex:(a_n) ist konvergent, wenn es für jedes tex:\epsilon > 0 ein tex:n(\epsilon) gibt, so dass tex:|a_n - a_m| < \epsilon für alle tex:n,m \ge n(\epsilon) a \in R

L'Hospital

Erhält man einen unbestimmten Ausdruck, dann gilt:

Wenn tex:{ lim \atop{x \rightarrow \infty} } {f'(x) \over g'(x)} existiert, dann existiert auch tex:{ lim \atop{x \rightarrow \infty} } {f(x) \over g(x)}

→ Nicht für komplexwertige Funktionen

Stetigkeit

Sei tex:f: X \rightarrow R

Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt des Definitionsbereiches stetig ist.

Epsilon-Delta-Kriterium

tex:f ist stetig in tex:x_0, wenn zu jedem tex:\epsilon > 0 ein tex:\delta > 0 existiert, so dass aus tex:|x-x_0| < \delta auch tex:|f(x)-f(x_0)| < \epsilon folgt.

Folgenkriterium

tex:f ist stetig in tex:x_0, wenn für jede Folge tex:(x_k), die gegen tex:x_0 konvergiert, auch tex:f(x_k) gegen tex:f(x_0) konvergiert.

Gleichmäßige Stetigkeit

Sei tex:f: X \rightarrow R

tex:f ist gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem tex:\epsilon ein tex:\delta gibt, so dass für alle tex:x_1,x_2 \in X mit tex:|x_1 - x_2| < \delta immer tex:|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon ist.

→ Anschaulich: "Box-Test für gleichmäßige Stetigkeit"

Zwischenwertsatz

Sei tex:f: X \rightarrow Y stetig auf dem Intervall tex:[a,b] definiert.

Für tex:f(a) < f(b) existiert zu jedem tex:y \in [f(a),f(b)] ein tex:x \in [a,b].

Für tex:f(a) > f(b) existiert zu jedem tex:y \in [f(b),f(a)] ein tex:x \in [a,b].

Nullstellensatz von Bolzano

Wenn in zwei verschiedenen Punkten von tex:f im Intervall tex:[a,b] die zugehörigen Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen besitzen, dann existiert mindestens eine Nullstelle in diesem Intervall.

Differenzierbarkeit

Sei tex:f: X \rightarrow Y

tex:f ist genau dann differenzierbar, wenn:

tex:\displaystyle {lim \atop { h \rightarrow 0 }} { {f(x_0 + h) - f(x_0)} \over {h} } existiert.

⇒ Der Grenzwert wird als Ableitung bezeichnet.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Sei tex:f: X \rightarrow Y stetig auf dem Intervall tex:[a,b] definiert und differenzierbar im Intervall tex:(a,b).

Es gibt mindestens ein tex:x_0 \in (a,b), so dass gilt:

tex:\displaystyle f'(x_0) = {{ f(b)-f(a) }\over{ b-a }}

⇒ Mindestens eine Sekantensteigung tritt als Steigung der Tangente an den Grafen auf.

Satz von Rolle

Es sei zusätzlich tex:f(a)=f(b).

An mindestens einer Stelle tex:x_0 \in (a,b) ist tex:f'(x_0) = 0.

⇒ Zwischen zwei Kurvenpunkten (mit gleichem y-Wert) gibt es mindestens eine Stelle mit einer waagrechten Tangente.

⇒ Zwischen zwei Kurvenpunkten (mit gleichem y-Wert) liegt eine Nullstelle der ersten Ableitung.

⇒ Zwischen zwei Nullstellen der Funktion liegt eine Nullstelle der ersten Ableitung.

Extremwerte

Notwendiges Kriterium

Sei tex:f: X \rightarrow R mit lokalem Extremum an der Stelle tex:x_0 und ist tex:f an dieser Stelle differenzierbar, dann gilt:

tex:f'(x_0) = 0

Hinreichendes Kriterium

Ist tex:f: X \rightarrow R n-mal an der Stelle tex:x_0 differenzierbar und es gilt:

tex:f'(x_0) = f''(x_0) = ... = f^{(n-1)}(x_0) = 0

Dann gilt für tex:f^{(n)}(x_0):

n gerade

tex:f^{(n)}(x_0) > 0Relatives Minimum

tex:f^{(n)}(x_0) < 0Relatives Maximum

n ungerade

tex:f^{(n)}(x_0) \ne 0Kein Extremum

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sei tex:f: X \rightarrow R stetig auf dem Intervall tex:[a,b] und sei tex:g: X \rightarrow R integrierbar auf dem Intervall tex:[a,b].

Weiterhin sei entweder tex:g \ge 0 oder tex:g \le 0, dann existiert ein tex:\xi \in [a,b], so dass:

tex:\displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)g(x)dx} = f(\xi) \int_{a}^{b} {g(x)dx}

Spezialfall

Im Spezialfall tex:g(x) = 1 ergibt sich:

tex:\displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)dx} = f(\xi) \cdot (b-a)

⇒ Die Fläche unter der Funktion gleicht einem Rechteck mittlerer Höhe (→ Mittelwertsatz).

Fundamentalsatz der Analysis

Sei tex:f: X \rightarrow R stetig auf dem Intervall tex:[a,b]. Für alle tex:x_0 \in [a,b] ist die Integralfunktion tex:F differenzierbar und eine Stammfunktion zu tex:f.

tex:F: X \rightarrow R mit tex:\displaystyle \int_{x_0}^{x} {f(t)dt}

Für alle tex:x \in [a,b] gilt:

tex:F'(x) = f(x)

Berechnung

Berechnung des Integrals mit Hilfe der Newton-Leibniz-Formel:

tex:\displaystyle \int_{a}^{b} {f(x)dx} = F(b) - F(a)

Konvergenzkriterien für Reihen

Cauchy-Kriterium für Reihen

Eine undendliche Reihe tex:\displaystyle \sum_{n=r}^{\infty} a_n konvergiert genau dann, wenn zu jedem tex:\epsilon > 0 ein tex:n(\epsilon) existiert, so dass für alle tex:n \ge n(\epsilon):

tex:\displaystyle |s_{n+p} - s_n| = |a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+p}| = | \sum_{k=n}^{n+p} a_k | < \epsilon

Absolute Konvergenz

Sei tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k eine Reihe. Diese ist absolut konvergent, wenn tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{n} |a_k| konvergiert.

Notwendiges Konvergenzkriterium

tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} konvergiert ⇒ tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } }  a_k = 0

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } }  a_k \ne 0tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} konvergiert nicht

Majorantenkriterium

Seien tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} und tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {b_k} zwei Reihen. Wenn tex:b_k konvergiert, dann konvergiert tex:a_k absolut, wenn gilt: tex:|a_k| \le b_k

Minorantenkriterium

Seien tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} und tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {b_k} zwei Reihen. Wenn tex:b_k divergiert, dann divergiert auch tex:a_k, wenn gilt: tex:a_k \ge b_k

Quotientenkriterium

Sei tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} eine Reihe.

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } } | { a_{k+1} \over a_k } | < 1Absolute Konvergenz

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } } | { a_{k+1} \over a_k } | > 1Divergenz

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } } | { a_{k+1} \over a_k } | = 1Keine Aussage

Wurzelkriterium

Sei tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} eine Reihe.

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } } \root n\of{|a_k|} < 1Absolute Konvergenz

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } } \root n\of{|a_k|} > 1Divergenz

tex:{ lim \atop { n \rightarrow \infty } } \root n\of{|a_k|} = 1Keine Aussage

Leibnizkriterium

Sei tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {a_k} eine alternierende Reihe,

dann konvergiert die Reihe, wenn der Betrag der Folge monoton fallend (1) ist und diese eine Nullfolge (2) ist:

1. Monoton fallend

tex:|a_{k}| \ge |a_{k+1}|

2. Nullfolge

tex:{lim \atop k \rightarrow \infty} {|a_k|} = 0

Reihen-Integral-Kriterium

Sei tex:f: [n, \infty) \rightarrow R monoton fallende Funktion, dann gilt:

tex:\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty} {f(k)} konvergiert tex:\Leftrightarrow tex:\displaystyle \int_{n}^{\infty} {f(x) dx} existiert.

Spezielle Reihen

Geometrische Reihe

tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {q^k} ist eine geometrische Reihe.

Für tex:|q| \ge 1Divergenz

Für tex:|q| < 1Konvergenz

Harmonische Reihe

tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} {{1}\over{k^q}} ist eine harmonische Reihe.

Für tex:|q| > 1Konvergenz

Für tex:|q| \le 1Divergenz

Gleichmäßige Konvergenz

tex:{ {lim sup} \atop { x \rightarrow \infty }} {|f_n(x) - f(x)| = 0}

bzw.

tex:|f_n(x) - f(x)| < \epsilon

⇒ Unabhängig von der tex:\epsilon-Wahl, wird es immer ein tex:n geben, ab dem der Abstand von tex:f_n zu tex:f kleiner ist als tex:\epsilon. Für jedes tex:x aus dem Definitionsbereich.

Taylorpolynom

Sei tex:f: X \rightarrow R (n+1)-mal differenzierbar und im Intervall tex:I. Für alle tex:x_0,x \in I gilt:

tex:f(x) = T_n(x) + R_n(x)

mit

tex:\displaystyle T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} { {f^{(k)}(x_0)}\over{k!} } (x-x_0)^k = f(x_0) + {{f'(x_0)}\over{1!}}(x-x_0)^1 + {{f''(x_0)}\over{2!}}(x-x_0)^2 + ... + {{f^{(n)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n

und

tex:\displaystyle R_n(x) = \int_{a}^{x} {{f^{(n+1)}(x_0)}\over{n!}}(x-x_0)^n dx_0

Potenzreihe

Sei tex:(a_k) eine beliebige Folge und tex:x_0 der Entwicklungspunkt.

tex:\displaystyle \sum_{k=0}^{n} { a_k(x-x_0)^kPotenzreihe

⇒ Die Reihe konvergiert im Konvergenzradius tex:r

Analytische Funktion

tex:f: X \rightarrow R ist analytisch im Punkt tex:x_0, wenn es eine auf tex:f(x) konvergente Potenzreihe um tex:x_0 gibt.

Ist die Funktion in jedem Punkt analytisch, so ist tex:f analytisch.

Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist der Radius tex:r, in dem alle tex:x mit tex:|x-x_0| < r konvergieren.

Formel von Cauchy-Hadamard

tex:r = { 1 \over {{lim sup} \atop {x \rightarrow \infty} } (\root n\of{a_n}) }

→ Entspricht 1 durch Wurzelkriterium

Alternativ

tex:r = { {lim} \atop {x \rightarrow \infty} } |{a_n \over a_{n+1}}|

→ Entspricht 1 durch Quotientenkriterium

Trigonometrische Funktionen

tex:sin(x) = {Gegenkathete \over Hypothenuse}

tex:cos(x) = {Ankathete\over Hypothenuse}

tex:tan(x) = {Gegenkathete \over Ankathete} = {sin(x) \over cos(x)}

tex:cot(x) = {Ankathete \over Gegenkathete} = {cos(x) \over sin(x)}

Ableitungen / Stammfunktionen

sin(x)/cos(x)

tex:sin(x)' = cos(x)

tex:cos(x)' = -sin(x)

tex:-sin(x)' = -cos(x)

tex:-cos(x)' = sin(x)

tan(x)/cot(x)

tex:\displaystyle tan(x)' = {1 \over cos^2(x)}

tex:\displaystyle cot(x)' = -{1 \over sin^2(x)}

Weitere

tex:\displaystyle \int {1 \over {1+x^2}}dx = arctan + C

tex:\displaystyle \int {1 \over {\sqrt{1-x^2}}}dx = arcsin + C

tex:\displaystyle \int {1 \over \sqrt{1+x^2}}dx = arcsinh + C = ln(x+\sqrt{x^2+1}) + C

tex:\displaystyle \int {1 \over \sqrt{x^2-1}}dx = arccosh + C = ln(x+\sqrt{x^2-1}) + C

Formeln

Allgemein

tex:sin^2(x) + cos^2(x) = 1

tex:sin(x)cos(x) = {1\over2}sin(2x)

tex:\displaystyle {1 \over cos^2(x)} = 1 + tan^2(x)

tex:\displaystyle {1 \over sin^2(x)} = 1 + cot^2(x)

Symmetrie

tex:sin(-x) = -sin(x)

tex:cos(-x) = cos(x)

tex:tan(-x) = -tan(x)

tex:cot(-x) = -cot(x)

Phasenverschiebung

tex:sin(x+{\pi\over2}) = cos(x)

tex:cos(x+{\pi\over2}) = -sin(x)

Additionstheoreme

tex:sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm sin(y)cos(x)

tex:cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \pm sin(x)sin(y)

 
uni-leipzig/physik/module/analysis1/inhalte.txt · Zuletzt geändert: 2012/07/10 00:26 von carlo
 
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